Kate Mobile, очень удобно кэшировать музыку. Быть оффлайн и слушать, сохранять и слушать без подключения.
Еще ADM, но это для скачивания из вк аудио и видео.
В самом ВК есть такая тема - жмете в телефоне на кнопку настроек песни, вроде отправить друзьям и т.д., и там есть кнопка Сохранить. Жмете ее. Когда в следующий раз будете входить вконтакт оффлайн в Мои аудиозаписи, то наверху появится выбор или ваш плейлист или скаченные. Жмете на последнее. Вот вам и музыка.
Супер приложение есть называдось раньше VKplaylist, а сейчас вроде Fonoteca. Пользуюсь им более 3-х лет. Очень удобная штуковина. Там так же есть рекомендации разных стилей музыки под ваш вкус