С технической точки зрения среднее минимизирует сумму квадратов расстояний до всех точек, а медиана - сумму модулей расстояний. Ну а с содержательной точки зрения самое важное свойство - это то, что медиана устойчива к выбросам, а среднее неустойчиво. Но зато среднее легче считать и пересчитывать при добавлении или удалении значений из выборки.