Слово анимэ, действительно, есть в японском. Это заимствование в японский из английского слова animation, которое, при написании японской азбукой, звучит как анимэ:сён (アニメーション), которое позднее сократилось до анимэ (アニメ). Однако, за пределами Японии под словом анимэ подразумевают именно японские мультфильмы, в то время как в Японии этим словом обозначаются все мультфильмы вообще. Чтобы сказать "японское аниме" используйте выражение "нихон-но-анимэ".