Олег - имя, восходящее к скандинавскому Hélgi (от др.-сканд. heilagr — «святой», «священный»). Одно из дохристианских династических имён Рюриковичей.
По наиболее распространённой версии, имя произошло от древнескандинавского имени Hælgi (Хе́льги) образованного от прилагательного др.-сканд. heilagr — «святой»; в языческие времена — «посвящённый богам»; его перевод на древнерусский язык — Ольгъ.
Польский языковед Станислав Роспонд в своей работе «Структура и классификация восточнославянских антропонимов» относит имя Олег в ряду других восточнославянских антропонимов «к именным архетипам, не встречающимся где-либо в другом месте». «Некоторые из этих архетипов — пишет Роспонд, — подтверждаются античными источниками… Сюда же следует отнести неправильно признаваемые нордическими формы Олегъ, Ольга, Игорь, Гълѣбъ, Улѣбъ, Дулѣбъ».
Российский историк А. Г. Кузьмин в одном из своих трудов писал, что имя Олег явно восходит к тюркскому Угут — имени и титулу, со значением «великий», и что это имя в форме Халег с тем же значением известно и у ираноязычных племен.
Так что ответ простой: нет. Олег - полное имя и никак не связано с именем Алексей.