МАТЕМАТИКА ОЛИМПИАДНАЯ, НУЖНА ПОМОЩЬ

Очевидно, что 101 можно получить только сложив определенные пары чисел. Выпишем их:

(1, 100), (2, 99), (3, 98), ..., (50, 51)

Всего 50 пар чисел.

Для того, чтобы выбрать удовлетворяющие условию числа из общего набора, достаточно выбрать пары, из которых мы затем возьмем только одно число (двумя способами из каждой пары).

Например, если мы хотим выбрать 5 чисел, то выберем 5 пар (число сочетаний из 50 по 5) и умножим на 2 в степени 5 (количество способов выбрать конкретные числа из выбранных пар).

Таким образом, получаем интересную формулу на число N:

Если присмотреться внимательно, то можно заметить, что не хватает двух членов до полной суммы по Биному Ньютона, а именно с n = 0 и n = 1.

Добавив их до этой суммы, мы получим формулу, которая выражает разложение выражения (1 + 2)^50 по Биному Ньютона. С другой стороны, эта сумма равна 3^50 (заведомо делится на 243 = 3^5).

Другими словами, добавив два вышеупомянутых члена к числу N, мы получили что-то, что делится на 243. Давайте же их вычислим:

При n = 1 формула общего члена легко дает 100;

При n = 0 формула дает конечно же 1.

Таким образом, искомое число k равно 101. Тем более, так как 101 меньше, чем 243, это и будет наш ответ. (Если бы оно оказалось больше, пришлось бы взять остаток от деления полученного числа на 243)