Мозг — чисто физиологическое, как рука, нога, печень и т.д.
Разум и ум — это синонимы. Способность пользоваться мозгом, есть ум, если просто.
Ум — это нечто приобретённое с опытом: знания, навыки, способности.
Часто можно встретить такие фразы, как "Разумное существо", здесь имеется в виду, что существо способно мыслить, осознавать себя.
Так что мозг отвечает за ум, а ум — это то, что делает существо разумным.