Ответ нет. Это невозможно даже в идеальном случае круговой орбиты Луны, когда нет земной атмосферы и все технические проблемы с массой, прочностью и способа подвешивания троса к Луне решены. Почему невозможно? Попробую ответить качественно для одного выделенного элемента троса.
На линии, соединяющей центр Земли с центром Луны, находиться точка Лагранжа (L₁) гравитационно связанной системы Земля-Луна. На элементы троса в области L₁ действуют противоположно направленные силы натяжения троса со стороны Луны и со стороны Земли. Других сил там нет. Если эти силы лежат на прямой Земля-Луна все время, то эти элементы троса не будут иметь компоненту скорости параллельной орбитальной скорости Луны. Это противоречит условию задачи - все элементы троса должны иметь угловую скорость Луны. .Чтобы элементы троса в точке L₁ приобрели угловую скорость Луны, необходимо чтобы они соответственно отставали бы от линии Земля-Луна. Только в этом случае векторная сумма натяжений троса от L₁ в сторону Земли и от L₁ в сторону Луны могла бы создать тангенциальное ускорение элемента троса в L₁ в направлении параллельном движению Луны, обеспечивая соответствующую угловую скорость. Эту логику можно продолжить и для других элементов троса и получится, что трос никогда к Земле не подойдет и вытянется под некоторым углом к линии Земля-Луна, зависящим от массы троса. Чем легче будет трос, тем дальше он уйдёт от Земли. Более того, обязательно возникнут и собственные колебания троса вокруг некоего среднего положения. Задача усложняется, если длину троса неограниченно увеличивать. Вот тогда может и возникнуть шанс тросу добраться Земли или намотаться на Землю, а может и нет, ибо шансы образовать что-то подобное аккреционному тросовому кольцу вокруг Земли то же существуют.
Думаю это вполне хорошая олимпиадная задача и предлагаю молодым и будущим Эйнштейнам попытаться решить её количественно, найдя форму и эволюцию троса в зависимости от массы и длины троса.
Гуглите "космический лифт"
Луна делает оборот вокруг земли быстрее, чем Земля делает оборот вокруг своей оси. Трос будет в постоянном движении, как верёвка, конец которой у вас в руке, а сами вы едите на велосипеде.
Даже если все супер идиально, вы просто представьте с какой скоростью будет двигаться этот трос, он же просто всех порежет на части, скорость уж больше всякого болида