Да, вполне возможно. Причем необязательно быть, если не ошибаюсь, аспирантом, чтобы начать преподавательскую деятельность. И это не касается только репетиторства. Известно, что есть некоторые ВУЗы, при которых существуют специализированные школы и лицеи. Преподавательскую деятельность в таких школах может осуществлять студент. И если он обладает необходимыми знаниями, то чуть ли не с первого курса может вести уроки. Так, в МАИ и МГТУ им. Баумана студент может подать документы на ведение преподавательской деятельности в физико-математической школе МАИ и лицее МГТУ(естественно, с ним проведут собеседование и знания его хорошенько проверят, прежде чем отправлять преподавать).
Кроме того, знаю, что у студентов может быть один из видов практики, связанный со школой. Когда я был школьником, то к нам приходили старшекурсники из пединститута. Это были психологи. Они давали нам тесты, проводили внеурочные занятия и т.д.( под наблюдением старших преподавателей и школьного психолога). Был и другой случай: студент физфака МГУ проходил практику в нашей школе, проводя занятия по физике. И он так понравился школьной администрации, что они предложили ему вести физику (что он и делал в течение одного года).
Да, можно. По современным положениемям, профильное образование подходит вполне (т.е. биофак для биолога, истфак для историка и т.д.), а для ОБЖ, как я понимаю, и вовсе достаточно быть военнообязанным.
Сам в последний момент не пошел преподавать медицину :)