Это один из веселых парадоксов теории вероятности, в котором самое интересное - это не его объяснение, а причины возникновения подобных парадоксов.
Условие из Википедии. Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна (что важно, может быть абсолютно любой). Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой?
Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. В чужом конверте равновероятно может находиться 2X или X/2. Поэтому если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет:
(2X + X/2) / 2 = (5/4) * X
то есть больше, чем сейчас Х. Значит, обмен выгоден.
В чем парадокс? Парадокс в двух утверждениях (1) обмен выгоден двум игрокам (2) можно даже не открывать свой конверт, а меняться сразу.
Пример: предполагается, что если вы вытянули из конверта какие-нибудь 70 рублей, то это значит, что организаторы либо создали пару (35 рублей в одном конверте, 70 рублей - в другом), либо (70 рублей, 140 рублей) . Вероятность обоих пар одинакова - это отчасти следует из того, что суммы могут быть любыми.
Самое забавное здесь состоит в том, что нет никакого парадокса. Все правильно, включая то, что меняться надо сразу не глядя на свой конверт. Но только при одном условии - что суммы в конверте могут быть любыми. Согласно условию, их размер с одной и той же вероятностью (пусть и выражающейся бесконечно малой величиной) могут быть как 10 рублей так и бесконечно много рублей. Ведь если есть верхний предел, то вся логика парадокса рушится. Предположим, сумма не может быть выше 1 млн. Вы вынимаете из конверта 1 млн - и все, меняться нельзя, так как вероятность того, что в другом конверте 2 млн равна нулю. Также меняться не выгодно, если вы вынете сразу что-то больше, чем 500 тыс., например, 750 тыс. рублей - в другом конверте просто не может быть 1,5 млн рублей, так как предел равен 1 млн.
Но как только в условиях любой задачи возникает и начинает активно действовать бесконечность, то любые выводы кажутся парадоксальными, но они парадоксальны лишь с точки зрения нашей логики, оперирующей в конечном мире.
Для понимания этого вот задача попроще. Предположим, у нас бесконечное число людей и их надо посадить в бесконечной длинны автобус, все места в котором пронумерованы от 1 до бесконечности. Мы просто пересчитываем людей, присваиваем им номер, и каждому номеру даем свое место в автобусе с тем же номером. Все радостно расселись и мы видим, что пустых мест нет. Какой-нибудь 76567-й пассажир сидит на 76567-м месте. И вот приходит еще один человек - куда его посадить раз все места заняты? Ответ: посадить его первое место, а всех попросить передвинуться на место с номером равным их текущему номеру +1. К слову сказать, так можно посадить бесконечно число пассажиров, а потом еще бесконечное и так далее. Парадокс? Нет, не парадокс, а нормальная жизнь в условиях бесконечности, которая вышла из математической абстракции в реальный мир. В нормальном мире нашелся бы последний пассажир, которого бы попросили пересесть, а ему-то уже пересаживаться некуда (аналог последнего пассажира в задаче про конверты - это максимальная сумма, которая может быть положена в конверт). Но только здесь этот финал процесса пересаживаний "уходит" в бесконечность.
Логика рассуждения в этой задачке про автобус ровно такая же, как и в задаче про два конверта. Парадокса нет, есть нормальная жизнь в условиях материализовавшейся бесконечности (в данном случае бесконечности денег). Остается понять, простить и принять. Хотя для нас это выглядит парадоксальным, но только потому, что в привычном нам окружающем мире нет бесконечностей.
Открыл ты конверт, там 100р, если это бОльшая сумма, то при обмене ты потеряешь 50р, если меньшая, то приобретешь 100, это справедливо для обоих игроков. И никакой магии, просто возможный выигрыш всегда больше возможного проигрыша.