Оплата труда в выходные и нерабочие праздничные дни прописана в ст. 153 Трудового кодекса РФ.
Оплата производится в 2-м размере с некоторыми особенностями:
сдельщикам - не менее чем по двойным сдельным расценкам;
""работникам, труд которых оплачивается по дневным и часовым тарифным ставкам, - в размере не менее двойной дневной или часовой тарифной ставки;
""работникам, получающим оклад (должностной оклад), - в размере не менее одинарной дневной или часовой ставки (части оклада (должностного оклада) за день или час работы) сверх оклада (должностного оклада), если работа в выходной или нерабочий праздничный день производилась в пределах месячной нормы рабочего времени, и в размере не менее двойной дневной или часовой ставки (части оклада (должностного оклада) за день или час работы) сверх оклада (должностного оклада), если работа производилась сверх месячной нормы рабочего времени.
И не важно, кто инициатор - работа должна быть оплачена, ведь работа в выходные "по инициативе работника" - это что-то сверхъестественное по-моему.
Но надо учитывать, что согласно той же статье конкретные размеры оплаты за работу в выходной или нерабочий праздничный день могут устанавливаться коллективным договором, локальным нормативным актом, принимаемым с учетом мнения представительного органа работников, трудовым договором. Поэтому надо смотреть также и эти документы, если они существуют.
Замена работы в выходной на другой день отдыха - право, но не обязанность работника, но в случае такого решения оплата не удваивается. Поэтому требовать от работника написать заявление на отгул в другой день администрация права не имеет. То, что в бюджет не заложены деньги - это проблема администрации учреждения (так и хочется добавить про "домик уточки", на который деньги почему-то нашлись, как и на войну в Сирии).
В реальности всё сложнее: права работников нарушаются направо и налево. Жаловаться не обязательно в прокуратуру - существует Государственная инспекция труда. Конкретные адреса службы в регионах несложно найти в Интернете.