Потому если в двумерном эвклидовом пространстве, снабжённом стандартной l^2-метрикой, вы будете приближать кривую x^2+y^2=1 любой последовательностью выпуклых многоугольников, имеющих точки окружности в качестве вершин (за норму приближения можно взять максимум среди расстояний от произвольной точки многоугольника до ближайшей точки окружности, и эта величина должна стремиться к нулю), то числовая последовательность периметров многоугольников будет иметь предел, равный 2 пи.
Это Вы так пытаетесь человеку объяснить или блеснуть, да плюсиков собрать? )
Каков вопрос - таков и ответ. Хотите ответ специалиста - получите, распишитесь.
А как вы собрались приближать одномерную фигуру (кривую) двумерными? В любом случае, написанное неправда. (см. http://i.stack.imgur.com/GU8wd.jpg)
Э-э-э, Александр, невнимательно читаете! Во-первых: пространство двумерное эвклидово; во-вторых: приближение одномерными полигонами, хоть размерность, вообще говоря, несущественна потому что, в-третьх: супремум-норма была упомянута в скобках; а в-четвёртых: многоугольники, как было сказано, выпуклые, с вершинами на окружности.
По поводу трололо - всё верно, это будет длина окружности в l^1 метрике. А чтобы разобраться с тем, что такое длина кривой в эвклидовом пространстве, нам придётся вводить на нём структуру Риманового многообразия, касательного пространства, параметризации уравнения кривой и натурального параметра.
Я не понял, почему приближение, указанное на трололо-картинке не подходит под ваше описание. Можете явно указать на несоответствие?
Луркаем выпуклость, она же convexity, трололо!
Ясно. Я неправильно понял, о каком приближении идёт речь. Приношу свои извинения.
Но вопрос ваш очень верный, сам об этом с утра думал, даже хотел написать апдейт. Вообще стоило бы написать, что пи такое - по теореме Пифагора. Но если уж идти по этому пути, то придётся разводить историю про постулаты эвклида, аристотелеву логику и аксиоматику множества действительных чисел - думаю, это уже перебор.
А почему выпуклость значима?
Потому что иначе трололо!
Потому что отношение длины окружности к диаметру именно 3.141492653589793264.., а не другое. Если бы оно было бы другим, то это был бы не круг, а ерунда.