На самом деле, это очень неприятное и нехорошее сравнение. Потому что аисты могут уносить зайчат, которые остаются в полях и лугах без "материнского глаза". Когда зайчонок попадает в клюв этой птицы, то издаёт звуки, похожие на плач ребёнка. Вот и пошло выражение, когда аист пролетал мимо села или деревни с полным клювом своей добычи, что "аист несёт кому-то ребёночка". На мой взгляд, лучше бы изображали семейство лебедей или пингвинов. Это самые хорошие родители и могли бы стать символами материнства и верности.
У нас они и на кошек охотятся.
И никогда они не выбрасывают птенцов из гнезда: бывает - пара и ещё три аистёнка.