Почему Луна в виде серпа — это полумесяц, а половина диска — первая или вторая четверть? Разве должно быть не наоборот?

Как называют фазы Луны (цитирую вики):

1. новолуние — состояние, когда Луна не видна.
2. молодая луна — первое появление Луны на небе после новолуния в виде узкого серпа.
3. первая четверть — состояние, когда освещена половина Луны.
4. прибывающая луна
5. полнолуние — состояние, когда освещена вся Луна целиком.
6. убывающая луна
7. последняя четверть — состояние, когда снова освещена половина Луны.
8. старая луна
   Полумесяц это другая тема -- так называют просто неполный диск Луны и обычно если речь идет об исламе, а не о фазах Луны. "Минарет с полумесяцем наверху".

Почему фазы 3 и 7 называется четвертью?

Но мы, действительно видим светлым четверть шара Луны.