Да, Хогвартс подчиняется и находится в ведении магического правительства Великобритании - Министерства магии. Оно может назначать преподавателей и директора, вводить новые должности и правила, определять учебную программу. Хотя единственный дирктор, о взглядах которого на эту проблему мы знаем, стремится к независимости школы от политики.
Относительно источников финансирования не могу припомнить. Есть попечительский совет Хогвартса. Существуют довольно серьёзные расходы. Но тему экономики как школы, так и всего мира колдунов Роулинг тщательно обходит, несмотря на частое упоминание Гринготтс.
Гарри никто не искал. Он автоматически попал в Хогвартс как волшебник. Уж таковы у них правила - каждого мага нужно научить скрываться от простецов.