Правильно ли писать: «в 21 веке»?

Согласно литературной норме это неверно. Только заглавными римскими буквами: «В XXI веке». Это сложившаяся традиция.

Прямого запрета использовать арабские цифры для обозначения столетий нет. Но в таком случае необходимо наращение: «в 21-м веке».