Можно посмотреть по специализированным форумам - например, Кот и Пес, там дают такие объявления. Есть они на авито и других сервисах, на зоосообществах в фейсбуке, контакте, в ЖЖ.
Рынок есть, но развит в основном в крупных городах. Частные лица предлагают услуги ситтеров на досках объявлений, существует также специализированный сервис для поиска кошачьих и собачьих нянь Divemby.com