"С какого возраста развивать в ребёнке самостоятельность?", - с того момента когда он в состоянии понять причинно-следственные связи. Думаю где-то лет в 5 или 6, хотя может и раньше. Зависит от развития ребенка.
"Когда лучше всего доверять ему что-либо делать без помощи родителей?", - доверять что? Дела бывают разные, с разной сложностью и разной ответственностью. Если тарелку помыть - то это и 6-летний сделать в состоянии. А если, например, вскопать огород, то это занятие будет для 6-летнего слишком тяжелым.
Тут важно не "когда" а "как". Чтобы развить самостоятельность надо передать ребенку ответственность.
Т.е. не просто "не помогать", но и "не стоять за плечом", и "не проверять что и как он там делает каждые 5 минут".
А в идеале - вообще не проверять результат работы, но создать такие условия чтобы ребенку было с одной стороны понятно что ему доверяют хоть сколько нибудь важное дело, а с другой стороны доверяют полностью: как он сделает так и будет, и он и его семья будут пожинать плоды его усилий. Хотя, конечно, этого идеала добиться очень сложно, именно в психологическом плане.
Впрочем, иногда такое положение вещей само собой происходит в случае когда родители вусмерть заняты/измотаны, и им не остается другого выхода кроме как положиться на своих детей (и когда родителям-алкоголикам глубоко плевать на дом, но это .... думаю понятно насколько это плохо).
Ну и, разумеется, поручать ребенку то что ему по силам. В младшем возрасте - попроще и полегче, более взрослому - что-то более сложное.