С чего бы вообще начать...
Вот смотрите, как работает асинхронный двигатель - чтобы в проводнике возник ток, нужно, чтобы рядом с ним было изменяющееся магнитное поле. Магнитное поле в статоре электродвигателя вращается по кругу. Статор можно представить как вращающийся вокруг ротора магнит. Когда полюс этого магнита проходит над проводником, он сначала приближается к нему, а потом удаляется - сила магнитного поля меняется, сначала нарастает, потом ослабевает. И за счёт этого в роторе генерируется ток. Ну а на проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера - он начинает двигаться, в случае с двигателем - вращаться.
Именно поэтому для асинхронных двигателей можно применять самые простые роторы - беличью клетку. Потому что нам ничего не надо делать, ток возникает в роторе сам, нужно только организовать ему замкнутую цепь.
Если бы ротор вращался одновременно с магнитным полем (то есть, синхронно), то величина магнитного поля не изменялась бы - скажем, проводник всегда находится конкретно под полюсом - величина магнитного поля всегда одинаковая - следовательно, ток, не наводится - следовательно, ротор останавливается. Именно поэтому у двигателей вращение ротора чуть медленнее, чем частота вращения магнитного поля.
Зависит эта частота от нагрузки. Вот стоит ротор без нагрузки. Магнитное поле чуть-чуть повернулось - навёлся небольшой ток, но его хватит, чтобы повернуть ротор. Если нагрузка большая - то чтобы навёлся большой ток, магнитному полю нужно измениться сильнее - то есть, повернуться дальше, то есть, ротор с нагрузкой начинает отставать от магнитного поля сильнее. Собственно, это и есть загадочное слово "скольжение", которым этот процесс характеризуют.
Чтобы ротор вращался синхронно с магнитным полем - по нему должен протекать ток. Поэтому у вас во втором вопросе ошибка - в синхронных двигателях нет "беличьей клетки", там настоящая обмотка, такая же, как в статоре, и на эту обмотку тоже подаётся ток снаружи - с помощью щёточного механизма. Поскольку в нём протекает постоянный по величине ток, то и сила Ампера будет постоянной - а значит, и скорость вращения тоже будет постоянной.
Почему синхронные двигатели не запускаются из сети - вопрос к этой же механике. В асинхронном двигателе в каждом отдельном проводе беличьей клетки поочерёдно возникает и пропадает ток - по мере того, как мимо каждого провода проходит полюс магнита. Получается такая вот цельная конструкция, в которой в абсолютно каждый момент времени рядом с полюсами магнита есть ток, который вращает ротор в нужном направлении. Проще говоря, вот есть провод ротора. Когда над ним проходит северный полюс - в нём индуцируется ток "вперёд", и он вращается влево. Северный полюс уходит - ток пропадает. Потом над ним появляется южный полюс, который индуцирует ток "назад" - и проводник всё равно вращается влево.
В синхронных двигателях так не получается - потому что в роторе уже есть ток, это магнит с постоянными полюсами. Когда над ним проходит один полюс - он притягивается к нему, когда другой - отталкивается. Из-за того, что магнитное поле вращается быстро, а инерция у ротора весьма приличная - он просто не успевает раскрутиться достаточно, чтобы последовать за одним из полюсов (исключения составляют разве что маленькие, медленные и ненагруженные двигатели - у них вращающийся момент больше, чем момент инерции, и их можно включить напрямую в сеть).
Поэтому таким двигателям для пуска нужна помощь. В самом простом варианте подойти и рукой крутнуть в нужную сторону - чтобы у вращающегося поля статора возникло более длительное взаимодействие в сторону притягивания, чем в сторону отталкивания. Ротор разгонится и войдёт в синхронизм.
Но руками толкать двигатели - дело неблагодарное, поэтому обычно всё-таки обходятся техническими средствами. Это либо асинхронный пуск - делают беличью клетку, только не настоящую полноразмерную, а такую, вспомогательную. Двигатель с её помощью запускается как асинхронный, а потом уже в обмотку ротора подают постоянный ток чтобы довести частоту вращения до синхронной. Либо пуск с помощью возбудителя - специального устройства, которое либо механически, либо регулируя величину тока создаёт как бы "имитацию" того же самого процесса, что и в асинхронном двигателе.
Как-то так.