В каждой области математики свои аксиомы, на которых она построена.
Аксиомой можно объявить любые утверждения. Можете вот прямо сейчас взять, написать несколько утверждений на листочке, объявить их аксиомами и получить новую науку.
А вообще вопрос о количестве не совсем корректен. Например, аксиома индукции одна, но на самом деле в ней счетное число утверждений.