С одной стороны, той терьер залез на чужую территорию где его и убили.... С другой стороны, застрелить собаку не имелось весомых причин, так как той терьер декоративная собака и не могла представлять опасность для соседа, его близких, его имущества.
Так что думаю можно подать исковое о уничтожении Вашего имущества (собаки)