На самом деле может быть и так, и так. Умножение можно определить двумя способами. 1) существует такая аксиоматика Пеано, которая сначала определяет, что такое натуральные числа и ноль и вводит для них две операции: сложения и умножения. Умножение определяется сначала для нуля a*0=0, а затем индуктивно для всех n: a*(n+1)=a*n+a. После аксиом и определений начинаются теоремы, где доказывается коммутативность a•b=b•a для натуральных чисел с нулем. Делается это методом математической индукции. Но это лишь для натуральных. Затем опреледляются целые числа (добавили отрицательных). Для них расширяется понятие сложения и умножения, и снова доказываются все теоремы, включая коммутативность умножения, но уже для целых. Это не всё. Теперь очередь рациональных чисел. Снова определение умножения и сложения и снова доказательство новой расширенной операции, что она коммутативна. Следующими приходят на очередь действительные числа как множество пополнения (фундаментальные последовательности и все такое, если нужны подробности) для рациональных. И да, снова расширение для сложения и умножения, снова доказательство коммутативности. Далее можно продолжить на комплексные. 2) Но есть и другой подход. Действительные числа определяются как непрерывное упорядоченное поле, то есть задаются аксиомы поля (Группа коммутативная по сложению, Группа коммутативная по умножению без нуля, дистрибутивность), аксиомы упорядоченности (например, что из a < b следует a + c < b + c), и аксиома непрерывности Дедекинда (что если элементы множества A целиком меньше или равны элементам множества B, то есть число, которое больше или равно любого элемента A, а также меньше или равно любого элемента B). И вот в такой системе аксиом коммутативность умножения a•b=b•a является аксиомой: без нуля все числа являются коммутативной группой по умножению, а, значит, операция умножения коммутативна из определения коммутативной группы. И да, существует теорема, которая доказывает, что такое непрерывное упорядоченное поле может быть только одно и оно совпадает с тем, что дают нам аксиомы Пеано и все последующее их обобщения до действительных чисел (более формально: они изоморфны относительно сложения, умножения и упорядоченности)
Итого, если действительные числа — это расширение натуральных-целых-рациональных, то a•b=b•a — теорема. Если действительные числа — это поле, то a•b=b•a — аксиома
P. S. Комплексные числа и в той, и в той аксиоматике определяются как расширение действительных одинаково. Заново в них определяется умножение. Но его коммутативность доказать несложно, используюя коммутативность умножения действительных чисел.
В общепринятой школьной аксиоматике доказывается через индукцию.
Но можно задать множество R через групповую аксиоматику - коммутативность по сложению и по умножению и без нуля. И в этом случае это свойство вытекает напрямую из аксиоматики.
Указанное выражение есть тождество, при котором идентичные операции по содержанию не идентичны по форме. Чтобы доказать их идентичность по форме нужно разложить числа на идентичные по форме единицы, тогда выражение примет идентичный по форме вид. Пример 2*1=1*2. Идентично (1+1)*1=1(1+1), открываем скобки - 1*1+1*1=1*1+1*1. Что и требовалось доказать.
Да, смотрите доказательство коммутативности для операции умножения натуральных чисел.
Доказательство ведётся через индукцию. Начиная с 126 стр. (или разбор ниже).
Аксиома, насколько помню, в алгебре одна - "Прибавив к натуральному числу единицу, получаем следующее натуральное число". Откуда, через определение умножения, можно вывести помянутый тезис.
Есть арифметика Робинсона. Там это доказывается по индукции. Есть арифметика Пеано, там это по определению. Что интересно, Робинсона не противоречива по Геделю и полна, а Пеано - нет.
Перепутал не Робинсона а Пресбургера , и речь идёт о натуральных числах, сорри(((
Даже не обязательно целые ))
Наверное аксиома... но первое доказательство, которое приходит на ум:
Допустим, а - длина, б - ширина прямоугольника, а*б - его площадь.
Если этот же прямоугольник развернуть на 90 градусов, то длиной станет - б, а шириной - а, но площадь от этого не изменится.
Да, я неправильно написал. Наверное, нужно было написать, что речь идет о действительных числах.