Существует ли какое-то доказательство того, почему работает закон умножения а*б=б*а (где а и б - действительные числа), или это принимается как аксиома?

Есть арифметика Робинсона. Там это доказывается по индукции. Есть арифметика Пеано, там это по определению. Что интересно, Робинсона не противоречива по Геделю и полна, а Пеано - нет.

В общепринятой школьной аксиоматике доказывается через индукцию.

Но можно задать множество R через групповую аксиоматику - коммутативность по сложению и по умножению и без нуля. И в этом случае это свойство вытекает напрямую из аксиоматики.

Указанное выражение есть тождество, при котором идентичные операции по содержанию не идентичны по форме. Чтобы доказать их идентичность по форме нужно разложить числа на идентичные по форме единицы, тогда выражение примет идентичный по форме вид. Пример 2*1=1*2. Идентично (1+1)*1=1(1+1), открываем скобки - 1*1+1*1=1*1+1*1. Что и требовалось доказать.

Да, смотрите доказательство коммутативности для операции умножения натуральных чисел. 

Доказательство ведётся через индукцию. Начиная с 126 стр. (или разбор ниже).

Аксиома, насколько помню, в алгебре одна - "Прибавив к натуральному числу единицу, получаем следующее натуральное число". Откуда, через определение умножения, можно вывести помянутый тезис.

Даже не обязательно целые ))

Наверное аксиома... но первое доказательство, которое приходит на ум:

Допустим, а - длина, б - ширина прямоугольника, а*б - его площадь.

Если этот же прямоугольник развернуть на 90 градусов, то длиной станет - б, а шириной - а, но площадь от этого не изменится.