Такая возможность существует. Однако необходимо знать, о какой стране речь и какие основания для того, чтобы остаться имеются у вас на руках. Только в этом случае, можно дать более развернутый ответ.
Некоторые так уезжают в Испанию или Португалию, но, как вам уже сказали выше, это всё же незаконно и рискованно. Например, в Испании для получения ВНЖ по оседлости (Arraigo Social) нужно прожить там не менее трех лет, иметь рабочий контракт и доказать, что ты интегрирован в общество (знаешь язык и обычаи страны). Подробнее можно почитать на сайте http://www.arraigosocial.info
Иммигрировать можно в любую страну мира! Однако по истечению срока визы или допустимого срока пребывания в стране вы, фактически, становитесь вне закона. Если попадетесь — штраф и депортация.