Мне эта формулировка не режет ухо, и сегодня так продолжают и говорить, и писать. Однако, действительно, многие люди избегают её. Возможно, это связано с появлением жаргонного значения у глагола «кончит» («успешно завершить половой акт: достичь оргазма или произвести эякуляцию»). По мере распространения этого жаргонизма, по-видимому, ближе к концу XX века, глагол «кончить» стал всё чаще заменяться синонимами. Глагол «окончить» в этом контексте почти вытеснил его. В начале XX века словосочетания «кончить/окончить институт» использовались примерно на равных. В начале XXI века словосочетание «окончить институт» преобладает.
Само образование жаргонизма произошло по стандартной схеме. Для самой важной разновидности действия опускается прямое дополнение. Это происходит ради экономии. Например, «выпить» — это «выпить водку». А для жаргона «половой акт» — важнейший мотив. Впрочем, здесь можно увидеть и другой механизм — табуирование. Произносить название процесса неприлично, оно опускается, а его значение как бы встраивается в значение переходного глагола, который в свою очередь становится непереходным, то есть используется самостоятельно, без прямого объекта. Как ни странно, эти причины могут усиливать друг друга. Важность и табуирование не исключают друг друга, как кажется на первый взгляд, а, напротив, связаны: объект табуирования всегда чрезвычайно важен.
Тем не менее, повторю это еще раз, я не вижу ничего дурного в выражении «кончить институт». Иначе говоря, появление «неприличных» значений в жаргонах не должно вытеснять из языка вполне литературные слова и выражения.