Если я начну качать спину и плечи, то я буду больше подтягиваться?

С высокой вероятностью будете больше подтягиваться.

Тренировки с отягощениями помогут развить силу и выносливость мышц, что поможет в подтягиваниях.

Но если цель именно много подтягиваться, то лучше больше внимания уделять именно подтягиваниям - экспериментировать с хватами, количеством повторений, подтягиваниями с отягощениями, затягиванием негативной фазы и т.д. Это поможет быстрее увеличить количество подтягиваний. Тренировки с железом тоже будут не лишними, но не первым приоритетом.