Да! Конечно лучше "застрахерте меня" и не "психерь!".
Кстати, с XVIII века (со времён Ломоносова) и до реформы русского языка в начале XX приставки "бес-" в русском языке не было, писали "безстрашный", "безпощадный" и т.п.
Впрочем, не было приставки и "черес-" - не "чересполосица", например, а "черезполосица". Поэтому связей с влиянием Церкви не усматривается. Но сейчас проскакивают такие спекуляции.
По мне, так логично было бы упростить правописание - если есть предлоги "без" и "через" (но нет "бес" и "черес"), то пусть и приставки будут такие же, без привязки с глухим/звонким согласным.