Чтобы разобраться, что такое множество Мандельброта, надо представлять себе геометрическую модель комплексного числа. Каждому комплексному числу ставят в соответствии точку на плоскости и наоборот, вот так:
На этой картинке черные точки обозначены буквами z с номером и записано, что это за комплексное число.
Возьмем теперь какое-нибудь комплексное число c и начнем раз за разом применять функцию «возведи в квадрат и прибавь с»:
или при f(z)=z²+c
Из каждого с будет получаться последовательность чисел, орбита точки c. Это итерации одной и той же функции. Поведение таких последовательностей изучает теория динамических систем. Главные вопросы этой теории: какова судьба типичных орбит? Они сходятся к какому-либо значению, убегают на бесконечность или ведут себя хаотически?
Множество Мандельброта – геометрический ответ на этот вопрос для функции f.
Покрасим те точки c комплексной плоскости, для которых последовательность c, f(c), f(f(c)), f(f(f(c))),… не уходит на бесконечность, черным цветом. А остальные точки оставим непокрашенными. Увидим множество Мандельброта:
Известно, что множество Мандельброта находится внутри круга радиуса 2. Если на каком-то шаге орбита точки выходит из этого круга, она уже никогда не вернется обратно. Иногда для красоты каждому номеру итерации назначают цвет, а потом каждую белую точку красят в цвет того номера итерации, на котором ее последовательность вышла за пределы круга. Получается и правда красиво:
Множество Мандельброта – один из самых известных фракталов, он хорошо изучен, но до сих пор о нем известно не все. Например, никто не знает, чему равна его площадь.