Обычно контакты на iPhone не отображаются при сбое или отсутствии синхронизации с учетной записью в iCloud. В этом случае необходимо зайти в параметры учетной записи, на которую сохранялись номера, и включить параметр «Контакты». Если синхронизация была активна, можно попробовать её отключить и включить повторно: возможно во время первой синхронизации был сбой и не все имена контактов сохранились.
Также проблемы с отображением имени контакта бывают, если iPhone используется в стране/регионе, не предназначенной для продажи (например, аппарат, произведенный для Америки привезенный в Россию и наоборот). В этом случае, к сожалению, легально помочь ничем нельзя: компания Apple не гарантирует полноценное функционирование своих устройств, используемых не в стране покупки в связи с особенностями местного законодательства и различиями в техническом обеспечении функций связи.