Можно ли стать учителем математики, не поступая в вуз?

Стать, конечно, можно, но стать действительно СИЛЬНЫМ учителем математики, я думаю, нет! Учитель математики должен понимать математику намного глубже и шире школьной программы, чтобы правильно доносить до детей причинно-следственные связи, а не только готовые формулы и алгоритмы. Математика это не просто набор готовых для вычислений инструментов, это целая вселенная со своими законами, взаимосвязями и логикой. Поэтому знание всех разделов высшей математики необходимо для каждого учителя математики! А этого без обучения в ВУЗе достаточно сложно достичь.

Нет, нельзя. Без высшего образования можно стать только учителем начальных классов, получив соответствующее образование в колледже. В старших классах преподавать не получится.

Можно также стать педагогом дополнительного образования в области искусства, туризма, краеведческой деятельности, экологии, физкультуры и воспитателем детского сада.

Смотря где работать. Обратите внимание на профессиональный стандарт Педагог. Например, быть преподавателем в ВУЗе без высшего образования не получится.