Трудовой договор должен быть заключён в письменной форме. Трудовой договор заключается в 2 экземплярах и скрепляется подписью работника и работодателя, а также печатью работодателя.

И выходные и нерабочие праздничные дни, попавшие в период временной нетрудоспособности, должны быть оплачены

Отработка считается в календарных днях, поэтому да - входят.

Нет. Необходимости в заявлении нет. Согласие работника подтверждается подписью в трудовом договоре.