В основном, формой обучения: в магистратуре будут присутствовать обычные лекции и семинары, в аспирантуре их может не быть вовсе, аспирант большую часть времени будет заниматься собственным исследованием, обычно это индивидуальная работа.
Также отличие заключается в полученной степени. Степень кандидата наук (присуждается после успешного завершения аспирантуры), особенно за рубежом, дает существенную прибавку к зарплате и очки к репутации.
За рубежом нет понятия кандидат наук. Там сразу доктора. Кандидаты наук только у нас в стране. Это общеизвестный факт.
Тем же, чем и кот отличается от тигра. Вроде бы и магистранты и аспиранты делают диссертации, но к кандидатским работам предьявляются бОльшие требования по научной новизне, оригинальности темы, написания статей и авторефератов, а также по обьёму. Также кандидат наук это ученая степень, а магистр академическая.