Стоит ли после смерти питомца заводить другую собаку, чтобы вывести ребенка из депрессии, который очень любил свою собаку? Поможет?

Не надо спрашивать здесь, спросите у своего ребёнка. Главное, чтобы он не воспринял это как предательство умершей собаки.
Можете вместе посмотреть предложения собачьих приютов и вместе выбрать там нового члена семьи.

Насчет депресии не скажу, не моя область. Но я бы завел. Только, возможно, в такой ситуации лучше будет взять щенка другой породы . Ребенку сколько лет? Если лет 9-10 и больше, то поговорите с ним о породе.

На такие вопросы надо специалистов в области детской психологии и психики вызывать)

Думаю, стоит подумать готов ли ребенок принять новую собаку? Не пойдет ли он в отказ?

Это все очень сложно, в принципе поможет, если только правильно подготовить ребенка, например, обьяснить что наша собака прожила всю свою жизнь, и прожила ее хорошо, в любви и заботе, а на свете есть много щенков, которые живут например без дома, поедем в приют и возьмем щенка

Могу порекомендовать на старость лет первой собаки завести щенка, тогда потеря будет не так сильна. Более того, объясните ребёнку, что срок жизни первой собаки подходит к концу и это естественный порядок вещей.

Но боль и тоска все равно будут очень сильными.,

Да, стоит. Себе. Ребенка сначала показать врачу. Депрессия - это дисбаланс гормонов, заболевание, а не грусть по питомцу. Грусть проходит, депрессию нужно лечить.

Новое животное в доме (как написали выше, лучше непохожее на предыдущее) всегда радость для взрослых и детей, изначально любящих собак.

Да, конечно. Дом без собаки - незажившая рана. дом с новой собакой - второе впечатление, вторая жизнь с собакой. Только помнить и честно осознавать, что собаку вы заводите не ребёнку. А себе. И тогда всё встанет на свои места.

Думаю, сначала нужно помочь малышу справиться с горем, отвлечь, переключить на позитив, на жизнь вокруг, на существование мохнатого друга, который где-то его ждёт, нуждается в нём и будет его любить. Ведь в памяти остаются хорошие воспоминания.