Прежде всего понять причину нежелания родителей завести собаку. Вы об этом не пишите: аллергия на шерсть? Не выполняете свои обязанности по дому (в комнате мусор. посуда не помыта и т.д? Плохо учитесь (на тройки)? Деньги? Вы не пробовали примерно подсчитать необходимую сумму для содержания собаки (я не знаю о собаке какого размера идёт речь)? Прибавить к этой сумме средства от блох, глистов, клещей - ежемесячно, прививки, посещения ветврача (все болеют).
Допустим другие причины: маленькая площадь квартиры, что Вы делаете летом? Уезжаете всей семьёй на отдых? Или? И куда собаку? Продолжительность жизни собаки в среднем лет 15, значит надо всё планировать на этот срок. Соответственно Ваши планы по окончанию школы: Вы собираетесь поступать в вуз в другом городе? Кто будет с собакой?
Живёте Вы в квартире или в частном доме? И собаку можно будет держать не в доме, а в вольере? Кто построит вольер? Уж, надеюсь ВЫ не на цепь собираетесь сажать собаку.
Т.е. чтобы попытаться помочь Вам уговорить родителей Вы не дали нам никакой информации. Далее: Вы пишите, что все способы испробовали: какие? хоть например? Можно ведь (простите) лечь на диван дрыгать ногами и кричать "хочу собаку". Явно не способ показать, что Вы взрослый человек и Вам можно доверить живое существо.
Думаю, что прежде всего прочитать 3-5 книг: воспитание и содержание собаки. Составить "бизнес план", т.е. сколько раз гулять, чем кормить, затраты, включая ошейник, поводок, ветврач и т.д. и т.п.
Продуманный план, подробный. Ещё раз подумать о финансовой стороне дела. Посчитать сколько времени в день Вы будете уделять собаке, сколько урокам, сколько школе, сколько и т.д (огороду, домашним делам и т.д….) и может быть попробовать пожить в таком режиме дня. Пока нет собаки, время запланированное на собаку истратить на какие-то дела (но не развлекательные), да хоть чтение, зарядка и т.д. И хотя бы пожить так месяц-другой. М.б. Вам и не захочется собаку, или наоборот, захочется.
Если своё мнение Вы не измените, то выбрать благоприятный момент, хорошие отметки в школе, чистота в доме и т.д. и сказать родителям, что Вам очень нужно обсудить один вопрос. показать свой "план действий", свои достижения за последние 2 месяца, подумать, (я не знаю сколько Вам лет) подумать о возможности подработать летом, чтобы заработать хотя бы часть денег на содержание собаки. Может быть таким образом Вам разрешать взять в дом собаку.