Как Северус Снейп убил Дамблдора авадой кедаврой, если для применения заклятия нужно искреннее желание убить?

Единственное логическое объяснение к которому я пришел это:

Снегг на самом деле имел желание убить Дамблдора, не из за жалости или желания помочь другу умереть легче

Он реально ненавидел Дамблдора из за того что узнал как он растил любимого им Гарри на убой. 

Для желания убить не обязательно нужна ненависть. Снейп, с его тёмным и жестоким прошлым, вполне мог вызвать в себе это желание из жалости к Дамблдору (шанса выжить у него не было, и грядущая смерть была бы очень мучительной, тогда как от Авады Кедавры умирали мгновенно и безболезненно), да и просто из рациональных побуждений - одна смерть помогала спасти множество других жизней.

Что бы убить этим заклятьем достаточно просто сказать его и взмахнуть палочкой. Информация о том что нужно искренне захотеть является ложной. Я нигде не видел такого правила применения заклятья

Это доказывает, что он по-настоящему хотел убить Дамблдора. Магию не обмануть притворством или окклюменцией. Она ориентирована на истинные побуждения.  У Снегга в этой сцене ненависть и отвращение на лице. О многом говорит тоже, вместе с выбором Авады.