Можно ли работать программистом без высшего образования по этой специальности?

Да, можно. У меня нет образования (11 классов, учился 3 курса на бухгалтера в вузе), при этом уже несколько лет работаю программистом =))

Есть люди, которые "топят" за профильное высшее образование. Почему так? Ну все просто - в некоторых местах действительно учат. Могут быть супер-преподаватели, программа обучения. Нужно понимать ещё, что любой ВУЗ это не только знания, но и знакомства, возможности. Например преподаватель может работать где-то в компании (или быть ученым) и можно к нему присоединиться. Часто крупные компании берут на стажировку или как-то помогают студентам. Например проводят ярмарки вакансий, олимпиады, хакатоны и так далее. Студент варится в этой тусовке единомышленников и развивается (если он не лентяй и не саботирует обучение, конечно) мышление, есть предметы для общего развития. Плюс создаются условия, когда ты должен сам выстраить процесс обучения, научиться учиться. 
Бывают конечно и плохие вузы, в которых ничему не учат, преподают устаревшие подходы, преподаватели - столетние старики, которые заставляют "писать код на листочке" и вообще плохо относятся ко всему новому. А весь процесс обучения - это боль, боль и боль.
В программировании важен результат, знания, а не корочка. Но так ли она бесполезна? На самом деле нет. Например при релокации (переезде заграницу) она может помочь, так как она будет подтверждением, что вы - квалифицированный специалист. Можно получить различные квоты и так далее. Корочка может потребоваться в крупных компаниях, например на руководящие должности. ну и конечно при работе в государственных учреждениях.
Отсутствие вышки большинству людй не мешает работать. Люди приходят в программисты из разных направлений и профессий - бывшие врачи, юристы, продавцы, эскаваторщики, таксисты. Важны личные качества, желание учиться, изучать новое. Поэтому спрос на разные рода колледжи и курсы растет - за 1-2 года можно пройти программу обучения, которая позволит начать работать, вместо того, чтобы 5 лет мариноваться.