Можно. И многие из моих коллег так и работают. Но не скажу что у Вас вообще в связи с этим не будет никаких ограничений. Например в государственных и около-государственных структурах это формальное требование. Также людей без диплома крайне неохотно мягко скажем берут в крупные традиционные корпорации например сырьевики и банковский сектор.
Другой разговор, что лично у меня профильный диплом. Вот только всю свою карьеру уже немаленькую я работаю в малом бизнесе. Как раз вместе с людьми у половины которых формальное образование только школа. Просто потому что мне нравится работать в малом бизнесе по ряду причин.
Мой добрый друг так и не получил никакой формальной специальности, но нынче он очень большой человек в SAP, правда сам программированием наверное лет десять как не занимается.
Вообще изи, кодеров-самоучек и причем талантливых, очень много. Для работодателя, нанимающего программиста, важно не наличие дипломов и всяких красивых бумажек, а знания.