Ответить на этот вопрос довольно сложно, поскольку никто не отслеживал этот процесс -- использование кавычек для передачи переносного смысла, иронии или недоверия. Вообще же, кавычки на знак препинания восходят к древнегреческим текстам (примерно II век д.н.э.), в которых для выделения каких-либо фрагментов, а также для приведения цитат использовался знак "дипле" (угловая стрелочка вправо: ">"). Примечательно, что этот знак обладал также различными функциями; в том числе, так называемый diple periestigmene использовался как раз для указания сомнения в выделенном тексте.
Далее, уже в средневековье, этот знак трансформировался, удваивался, то пропадал из рукописей, то вновь появлялся... О непростых перипетиях кавычек см. эту статью (на англ. языке).
Кавычки для выражения сомнения, иронии или переносного смысла в английском языке называются "scare quotes" (дословно: "страшные кавычки"). В Википедии указывается, что сам термин впервые появился в 1956 г., однако со ссылкой на те же древнегреческие "дипле". Само же употребление кавычек в этом смысле в английском языке началось не далее как в 1990-х гг. До этого, в XIX в., иногда для выражения иронии использовался специальный знак иронии.
В русском языке знаки кавычек (в виде современных "ёлочек") восходят к сочинению Константина Философа "О письменах" (XV в.) Константин предлагал использовать эти знаки для цитирования апокрифических текстов (т.е. сомнительного характера).