Откуда в русский язык пришел звук [ы]? Можно ли предположить, что в этом плане на него повлияли тюркские народы?

Ниоткуда не пришёл) А вот каким образом он появился, точнее, как этот звук звучал ДО того, как превратился в Ы, могут подсказать так называемые когнаты русских слов "дЫм", "сЫн", "тЫ" и т.д., то есть слова того же происхождения в других родственных языках. Например, латинское название слова "дым" нам почти знакомо по слову "фУмигатор" от лат. fumigo - 'окуриваю, дымлю'. Это такой наводящий ответ)

Это вряд ли. Звук "ы" есть у большинства славянских народов, в том числе у таких, которые не особо общались с тюрками в период становления языка, например, поляки, чехи, словаки.

Может проще, мягкий знак с буквой И, мягкое И. Мягкий, мерой явления гибкий, перевернул буква "р", иначе некоторые слова вообще не расшифровать, буква "ф" - ор - фамилия, организация рода