При выходе эксперта на место, для проведения судебной экспертизы должен ли вестись протокол, описывающий действия эксперта?

Давайте по порядку. 

Согласно п.2 ст.86 ГПК РФ, заключение эксперта должно содержать подробное описание проведенного исследования…
На основании п.3 ст.86 ГПК РФ, заключение эксперта для суда необязательно и оценивается судом по правилам, установленным в статье 67 настоящего Кодекса. Несогласие суда с заключением должно быть мотивировано в решении или определении суда.

Проще говоря, и Вы и эксперт вправе на равных сообщить суду о том, как проходила экспертиза. У эксперта в качестве доказательств - мотивированное заключение. А у Вас….а на что хватит находчивости. У меня в практике бывало, что вели и видеосъемку экспертизы, делали фото-фиксацию действий эксперта.
Формально потом можно передать эту информацию вместе с экспертным заключением другой экспертной организации для оценки правомерности и получить заключение-рецензию. Такую рецензию суд вправе оценить наравне с самим заключением судэксперта.  И исходя из нее именно суд (а не Вы) будет давать оценку правомерности действий эксперта и, как следствие, примет решение о том, принять ли во внимание заключение такого эксперта. 
По факту же эксперты, за которыми так следят стараются не наглеть, да еще и заключения неплохие пишут. 

На основании п.3 ст.84 ГПК РФ, лица, участвующие в деле, вправе присутствовать при проведении экспертизы.

Это означает, что обязанность эксперта заключается в том, чтобы уведомить Вас о проведении экспертизы. А не фиксировать, реализовали ли Вы это право фактически. 

А с чего Вы взяли, что у Вас есть на это процессуальное право? Вы- наблюдатель. Вот и наблюдайте и фиксируйте сами, как можете. Потом все, что нафиксировали передадите специалистам. Они сразу найдут как то, что вы нафиксировали отразилось на итоговом заключении (например: нет какого-либо описания/ что-то не мотивировано/отсутствуют замеры/нет фото объектов/ не обоснованный вывод). Все это можно зафиксировать в красивой грамотной рецензии и без ваших сумбурных возражений на клочке бумаги впопыхах.   

Для начала надо сказать, что в силу п.2 ст.86 ГПК РФ,  в случае, если эксперт при проведении экспертизы установит имеющие значение для рассмотрения и разрешения дела обстоятельства, по поводу которых ему не были поставлены вопросы, он вправе включить выводы об этих обстоятельствах в свое заключение. 

Другой вопрос, почему Вы вообще рассуждаете о стоимости экспертизы, раз она уже проведена. Существует общий порядок, когда стороны предлагают кандидатуры экспертов, представляя в материалы дела информационные письма с расчетом стоимости экспертизы в зависимости от определенного комплекта вопросов. И только после оплаты такой экспертизы (или перечисления средств на депозит суда), она назначается. В тот же момент цена фактически фиксируется. 
Даже если эксперт в ходе исследования решит станцевать Вам танец с бубном - это исключительно за его счет. 

Вы не учитываете, что суд.экспертиза назначается судом в процессуальном порядке: в судебном заседании с правами (ст.35 ГПК РФ, ст.79 ГПК РФ), предоставленным сторонам спора. 
Это значит, что все свои возражения о квалификации эксперта, добросовестности учреждения, круга вопросов и цены за их разрешение сторона ДОЛЖНА была озвучивать в таком судебном заседании. 
Если суд отмел замечания, то обжаловать вы должны мотивировку суда по котором он это сделал. 
Если вы такие замечания и не делали при назначении экспертизы, то полученный результат - это классическое последствие "несовершения процессуальных действий стороной спора", т.е. ваш промах. 

Удачи!

Эксперт не вправе самостоятельно собирать материалы для проведения экспертизы; вступать в личные контакты с участниками процесса, если это ставит под сомнение его незаинтересованность в исходе дела; разглашать сведения, которые стали ему известны в связи с проведением экспертизы, или сообщать кому-либо о результатах

услуги судебной экспертизы advokatservis .ru/