Как это правильно преподнести, чтобы не испортить и сохранить вообще трудовые отношения?
Последствия для работника будут зависеть от того, чем обусловлено внесение изменений в трудовой договор.
Если причиной стали переезд организации в другой город, изменение организационных или технологических условий труда или выданное работнику медицинское заключение, отказ повлечет за собой прекращение трудового договора в соответствии с пунктами 7-9 части первой статьи 77 ТК РФ.
Во всех остальных случаях работник вправе отказаться подписывать дополнительное соглашение. Ни к каким юридическим последствиям для него этот шаг не приведет. Всё остальное - вопросы взаимоотношений в коллективе, не все из которых подвергаются правовому регулированию.