Вопрос очень частый, кто за какой этап доставки несет ответственность. В данном случае, по желанию покупателя была выбрана ТК , еще не мало важно поставщик перестраховался указав отправителя-покупателем. При страховке в любом случае указывается какая-то минимальная стоимость товара, часто по умолчанию либо отправитель указывает фактическую сумму страхования. Скорее всего, не была оговорена сумма страхования поставщика с покупателем при сдаче груза экспедитору ТК, так же при приеме экспедитором груза он фиксирует в накладной состояние коробки и упаковки. При получение груза на складе ТК или при приемке груза от экспедитора, проверяйте на месте упаковку и товар, если есть несоответствие вы можете сразу писать претензию в ТК. Срок рассмотрения претензии на возмещение по страховому случаю может занимать от 1-6 недель в зависимости от ТК.
В данном случае однозначно вина ТК, вы правильно что сразу зафиксировали порчу упаковки. Вам нужно собрать акты приемки, акт порчи , накладные и отправить на рассмотрение претензии в ТК. На будущее требуйте от поставщиков фото груза перед отправкой, просите фото накл при приемке экспедитором и согласовывайте сумму страхования ,чтоб подобных ситуации не возникало. Сейчас никто не хочет нести ответственности и все др на друга перекладывают.