Может ли семиклассник, используя только свои знания геометрии, доказать теорему Пифагора?

Да, Может доказать не только теорему Пифагора(a"+b"=c"), но и используя её, доказать наличие решения "нерешаемой великой" теоремы Ферма.

(a"+b")(a"+b") =(c")(c") =c""

(c")(c")=(c")(c")=c""

В тройках Пифагора это

(3 "+4")(3 "+4") =(5")(5")=5""=625

(9+16)(9+16)=81+256+288=5""=625 

Может. Он ведь умеет находить площадь квадрата.

Не сможет, в таком возрасте зрелость ещё не подошла , в такие темы лезть, там география интелектуальной меры другая, чему научили - тем и решаешь. Вы сами её не доказали.

Да. Через площади квадратов. Можно по-разному строить квадраты на со стороной c или a+b, и расписывая площади, находить нужное равенство.