Может ли семиклассник, используя только свои знания геометрии, доказать теорему Пифагора?

На уровне седьмого класса в школе даются сразу несколько доказательств теоремы Пифагора. От семиклассника не требуется Шопенгауэровской постановки проблемы, глубокого вникания в само понятие метрики и т.д. 

Есть класс доказательств через "метод площадей", есть класс доказательств через подобные треугольники. Есть плоское оригами, наконец.

Можно погуглить доказательство Евклида, доказательство Платона, доказательство Леонардо да Винчи и т.д. Доказательство Джеймса Гарфильда через площадь трапезоида. 

Ну и т.д.

Может. Он ведь умеет находить площадь квадрата.

Не сможет, в таком возрасте зрелость ещё не подошла , в такие темы лезть, там география интелектуальной меры другая, чему научили - тем и решаешь. Вы сами её не доказали.

Да. Через площади квадратов. Можно по-разному строить квадраты на со стороной c или a+b, и расписывая площади, находить нужное равенство.