Линейная алгебра - самый востребованный в инженерном деле аппарат.
Метод конечных элементов в теории упругости, теории прочности, строительной механике и прочих расчетах, связанных с деформацией твердых тел.
Метод конечных объемов в гидро- и аэродинамике.
Общий принцип прост и понятен: нарезать исследуемую систему на такие мелкие кусочки, чтобы нелинейные зависимости можно было аппроксимировать линейными.
Все линейные системы линейны одинаково. Каждая нелинейная система нелинейна по своему.
Либо нужно подбирать к конкретной нелинейной системе уникальный метод решения, либо свести к системе линейных уравнений (пусть и очень большой) и решать методами линейной алгебры.
Линейная алгебра настолько базовая дисциплина, что вопрос ставит в ступор ровно в той же степени как вопрос "а зачем нужны гвозди"? Ну, много зачем так-то. В том числе для вещей, для которых они не были предназначены изначально.
Изначально для решения систем линейных уравнений (линейная алгебра, не гвозди). А сейчас, например, для описания квантовых систем.
Из черненького юмора: "гвозди" в предложении выше можете заменить на "арматуру".