Линейная алгебра обобщена средствами общей алгебры, в частности, современное определение линейного (векторного) пространства опирается на абстрактные структуры, многие результаты линейной алгебры обобщены на произвольные модули над кольцом (в смысле общей алгебры). Методы линейной алгебры используются и в некоторых разделах общей алгебры,в частности, применяется такой приём,как сведение абстрактных структур к линейным и изучение их относительно простыми и отработанными средствами линейной алгебры, так это реализуется в теории представлений групп. Функциональный анализ возник как применение методов математического анализа и линейной алгебры к функциональным пространствам и в определенной мере базируется на методах линейной алгебры. Разумеется, ФА - это не линейная алгeбра. Одним из лучших мостов перехода при обучении остается книга "Конечномерный Линейный анализ" Глазмана и Любича. Линейная алгебра также достаточно важна для <<линейного программирования>>, что более чем актуально для бизнеса , а также в некоторых задачах квантовой механики. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые уже относятся к полилинейной алгебре.
Линейная алгебра настолько базовая дисциплина, что вопрос ставит в ступор ровно в той же степени как вопрос "а зачем нужны гвозди"? Ну, много зачем так-то. В том числе для вещей, для которых они не были предназначены изначально.
Изначально для решения систем линейных уравнений (линейная алгебра, не гвозди). А сейчас, например, для описания квантовых систем.
Из черненького юмора: "гвозди" в предложении выше можете заменить на "арматуру".