Решение поставленной задачи описано в предыдущем ответе, но давайте его обобщим.
1) Для любого n число различных весов, доступных для взвешивания этими гирями, не превышает (3^n - 1) / 2. Почему так?
Заметим, что любое распределение гирь, при котором общая масса гирь на левой чаше равна сумме масс другой чаши, совершенно бессмысленно для взвешивания чего-либо. Значит, можно считать, что сумма масс гирь на одной чаше меньше, чем на другой. Таким образом, можно разбить все возможные распределения гирь (кроме заведомо бессмысленного случая "никакие гири не лежат на весах") по парам: распределения в паре отличаются ровно перестановкой всех "левых гирь" направо, а "правых" - налево. Теперь заметим, что в каждой паре ровно одно осмысленное распределение: то, где сумма масс "левых" гирь меньше.
2) При этом при наличии гирь массами 1, 3, 9, 27,..., 3^k заведомо можно отмерить любой вес от 1 до (1+3+9+...+3^k). Это немедленно следует из единственности троичного разложения натурального числа.
3) Подытожим. Пусть требуется отмерять все натуральные веса от 1 до N. Тогда число необходимых гирь равно [log_3(2N+1)].