Можно ли расширить используемый нами набор чисел дальше комплексных?

Да , можно

Кватернионы — система гиперкомплексных чисел, образующая

векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом "H" . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например, при создании трёхмерной графики. Пуанкаре считал, что появление кватерниoнов дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, в современной математике.

Далее смотри кватернионы - Алгебраические свойства , Кватернионы и повороты пространства

Процедура Кэ́ли — Ди́ксона (процедура удвоения) — это итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом) с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.

Эта процедура позволяет построить из действительных чисел последовательно их расширения: комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т. д. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с делением. Так, согласно данной теореме, действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы являются единственными нормированными алгебрами с делением (над полем действительных чисел).