Ответ на вопрос "зачем", как раз, простой: чтобы заменить произведение сложением, возведение в степень произведением, а деление -- вычитанием.
Есть известные свойства:
a^b * a^c = a^(a+b)
(a^b)^c = a^(b*c)
Получение функции вида
log_a [b] = c, где b = a^c , в тако случае, уже было делом техники и напрашивалось, как бы, само.
Логарифм имеет следующие свойства:
log_a [x1*x2] = log_a [x1] + log_a [x2]
log_a [x1/x2] = log_a [x1] - log_a [x2]
log_a [b^k] = k * log_a [b]
log_a [radic_k [b]] = (1/k) * log_a [b]
Где log_a -- логарифм по основанию a , radic_k -- корень (радикал) с показателем k .
Как видите, радикально упрощается произведение, деление, возведение в степень и извлечение корней -- в частности, кубических и квадратных.
По-видимому, первым к этой идее пришел Архимед (287-212 гг.), в своём трактате Ψαμμίτης ("Псаммит") -- т.е. "трактате об исчислении песчинок". "Песчинка" у Архимеда -- гипотетически неделимый "атом", массой, примерно, 1 мкг. Архимеда интересовало вычисление объёма наблюдаемой Вселенной в количестве таких песчинок. Забегая вперед, скажу, что объём в трактате на уровне порядка вычислен точно: 10^63 песчинок массой около 1 мкг. Использовавшаяся во времена Архимеда греческая непозиционная система счисления максимально описывала число "миариада" или 10 тысяч (сто раз по сто), обозначаемое буквой "мю": Μ . В мириадной нотации можно было выйти и за пределы мириад. Например, буквой β обозначалось число 2 и "две мириады" можно записать как:
β
Μ
То есть, "бета" ("вита"), надписанная над "мю" ("ми"). Таким способом можно было описать все числа до 10^8 в современной десятичной нотации. После чего известные числа заканчиваются. Архимед вынужденно пришел к мириадно-мириадной позиционно-непозиционной системы счисления, в рамках которой, де-факто, доказал равенство 10^a * 10^b = 10^(a+b) . Почему "де-факто", потому что Архимед ещё не использовал современной операции и соответствующей ей нотации возведения в степень, а все операции давались описательно (т.е., прописью и словами). Но де-факто его можно считать первооткрывателем свойств степеней десятки. В частном случае это свойство было открыто ещё раньше: известно, что если квадрат умножить на длину стороны, то мы получим объём куба, а это
a^2 * a^1 = a^(2+1) = a^3
Но открытие более общего случая, всё-таки, за Архимедом.
В 1544 году сподвижник Мартина Лютера и Филиппа Меланхтона Михаэль Штифель (1487-1567) издаёт работу Arithmetica Integra , где на стр. 237 в главе Arithmeticae Liber III. для удобства вычислений приводится таблица целых чисел и соответствующих им как показателям степеней двойки.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 64
Это первое в истории табличное задание логарифма по основанию 2. Обратите внимание, как всё просто. Допустим, нам надо поделить 64 на 8. В этом случае, мы смотрим верхнюю строку, вычитаем из шестерки тройку, получаем тройку и под тройкой находим ответ -- 8. Т.е., мы понизили ранг операции с частного до вычитания. что значительно упростило вычисления. Штифель составлял, разумеется, и более детальные таблицы. Эта просто приведена для примера.
Работавший в Праге швейцарский часовщик Йост Бюрги (1552-1632) в трактате Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen 1620 года составил таблицы соответствий арифметических и геометрических прогрессий-- табличное задание "антилогарифмов". Таблицы были предназначены для упрощения астрономических и хорологических вычислений. Помимо часов, он изготавливал армиллярные сферы и секстанты.
Шотландский астроном Дожн Нэпер (1550-1617) в 1614 году издаёт свой опус магнум Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, где на 90 страницах приводит подобные штифелевским таблицы, но уже не по двоичному логарифму, а по нэперову логарифму, который относится к натуральному логарифму как: NapLog (x) = (-10^7) * log (x/(10^7)) , где NapLog () -- нэперов логарифм, а log(x) -- натуральный логарифм. Специально оговорюсь: это современная нотация, используемого нами сейчас натурального логарифма Нэпер не знал и функцию определял таблично (через таблицы чисел) и описательно. По этим таблицам можно было производить вычисления так же, как по таблицам Штифеля. Нэперов логарифм, как можно заметить, -- убывающая функция с масштабным коэффициентом 10^7 , для избавления от дробной части. Изобретая логарифмы, Нэпер неизбежно столкнулся с иррациональными числами и в своём трактате также "оправдал" их использование (во времена Нэпера велась дискуссия о том, насколько иррациональные числа являются полноценными и вообще, собственно, числами).
Иоганн Кеплер (1571-1630) пользовался трудами Бюрги и Нэпера, о чем явно упомянул в своём трактате Tabulae Rudolphinae 1627 года. Использует нотацию Log для обозначения нэперова логарифма.
Английский математик Генри Бриггс (1561-1630) в 1614 году посетил Нэпера и предложил современный десятичный логарифм, как мы его знаем. В 1617 году он издаёт первую тысячу ("хилиаду") своих логарифмов, а в 1624 году фундаментальный труд Arithmetica Logarithmica. Десятичные логарифмы как функции здесь, опять же, задаются таблично и описательно, но это уже полноценный современный десятичный логарифм. Таблицы Бриггса даны с точностью до 14-го десятичного знака и с тех пор взяты за основу у англоязычных математиков. Таблица покрывала значения от 1 до 20000 и от 90001 до 100000
Голландский математик Адриан Влакк (1600-1667) расширил таблицы Бриггса в своём трактате Arithmetica Logarithmica (одинаковое название с трактатом Бриггса), покрыв все значения от 1 до 1000000, но с точностью до 10 десятичных знаков. И Бриггс и Влакк в свои таблицы включили "логарифмические синусы", косинусы и тангенсы для упрощения вычисления соответствующих тригонометрических функций.
Юрий Бартоломей Вега (Грегорий Бартоломеи Века) (1754-1802) в 1794 году в Лейпциге издаёт Thesaurus Logarithmorum Completus , где расширяет таблицы Влакка. В них он исправляет ошибки Бриггса и Влакка и даёт дополнительно "логарифмические тригонометрические" таблицы для малых углов.
Математик Александр Джон Томпсон (1885-1968) известен как последний автор "большой таблицы логарифмов", где он переработал таблицы Веги, Влакка и Бриггса, расширив точность до 20 десятичного знака, исправив ошибки и т.д. Последнее издание таблиц Томпсона вышло в 1952 году.
Обозначение Log для десятичного логарифма стал использовать в 1632 математик Бонавентура Кавальери (1598-1647).
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) использовал l (малую латинскую "эль") для обозначения либо натурального, либо нэперова логарифмы.
Леонард Эйлер (1707-1783) дал формальное определение экспоненте и дал формальное определение логарифму как обратной функции.
Огюстен Луи Коши (1789-1857) в своем Cours s'Analyse использует L для обозначения логарифма по произвольному основанию (функция у Коши называется "логарифмической характеристикой") и l для обозначения натурального логарифма.
Мартин Ом (1792-1872) в Die reine Elementar Mathematik основание логарифма пишет над логарифмом.
Т.е.,
c
log(a)
Логарифм а по основанию c. Такой же нотации придерживается Август Леопольд Крелле (1780-1850).
Ещё в XIX веке единая нотация не устоялась и писали, кто вот что горазд: основание над логарифмом, слева от логарифма, буквами L и l, log . nat. и log. briggs и т.д. Та нотация, которую мы знаем, окончательно закрепилась только в XX-м веке.
Кстати, сводные таблицы арифметических и геометрических прогрессий знали также в Вавилоне и Индии.