Равномерная непрерывность и ее приложения, зачем и где она используется?

Спасибо за интересный вопрос!

Если функция равномерно непрерывна на интервале (a,b), то её можно продолжить по непрерывности на [a,b], причём единственным образом.

Например, функция f(x)=x*sin(1/x²) является равномерно непрерывной на интервале (0,1), поэтому можно положить f(0)=0. А функцию g(x)=sin(1/x) в нуле нельзя определить по непрерывности, потому что функция непрерывна на (0,1), но не равномерно.

Кроме того, для равномерно непрерывной функции можно задать обобщённую частную производную в точках границы, где понятие частной производной не определено.

В книге "Курс математического анализа. I" С.М. Никольского можно найти следующий пример. Рассмотрим функцию z=f(x,y), определённую на замыкании круга x²+y²⩽1. В точке (0,1) частная производная f'ₓ не определена, потому что в направлении оси x функция определена в единственной точке. Однако, если f'ₓ равномерно непрерывна на области определения, то f'ₓ(0,1) можно однозначно определить по непрерывности.

Это надо прочувствовать определение, когда в области определения непрерывная функция меняется несильно, с ограниченной производной,

например, −1 ≤ sin x ≤ 1 ∀ x ∈ ℝ (−∞ < x < ∞).

Помимо прикладных задач, связанных с равномерной непрерывностью, существует важная область топологии - равномерные пространства. Каждое такое пространство является топологическим, но не обратно. Равномерные пространства - обобщение метрических пространств в той части, которая не связана с конкретным видом метрики.

Вот использование равномерной непрерывности для функции одной переменной как-то так сразу и не вспоминается. Но зато в функциях многих переменных равномерная сходимость (очень близкое понятие) используется для обоснования возможности изменять порядок интегрирования в кратных интегралах, а это сильно упрощает жизнь во многих случаях