Равномерная непрерывность и ее приложения, зачем и где она используется?

Равномерная непрерывность

Теорема о равномерной непрерывности (Кантора — Гейне): функция, непрерывная на замкнутом конечном промежутке (или на любом компакте), равномерно непрерывна на нём. При этом, если замкнутый конечный промежуток заменить на открытый, функция может не оказаться равномерно непрерывной.

Функция f(x) = 1/x не будет на [0,1] равномерно непрерывна из-за разрыва второго рода в 0

Для пункта (1) f(x) = x^2 не будет равномерно непрерывна на [0, +infinity)

Дополнено по сделанному замечанию - примеры использующие это свойство

Если в задаче 14 потребовать дифференцирумость , то равномерная непрерывность даст ограниченность для abs(df(x)/dx).

В целом Я рекомендую посмотреть методичку ФизТеха

в ней отличные задачи, которые отвечают именно на Ваш вопрос.

Это надо прочувствовать определение, когда в области определения непрерывная функция меняется несильно, с ограниченной производной,

например, −1 ≤ sin x ≤ 1 ∀ x ∈ ℝ (−∞ < x < ∞).

Помимо прикладных задач, связанных с равномерной непрерывностью, существует важная область топологии - равномерные пространства. Каждое такое пространство является топологическим, но не обратно. Равномерные пространства - обобщение метрических пространств в той части, которая не связана с конкретным видом метрики.

Вот использование равномерной непрерывности для функции одной переменной как-то так сразу и не вспоминается. Но зато в функциях многих переменных равномерная сходимость (очень близкое понятие) используется для обоснования возможности изменять порядок интегрирования в кратных интегралах, а это сильно упрощает жизнь во многих случаях